Vamos falar sobre Amortização de empréstimos, Juros, Prestação, Saldo
devedor ou estado da dívida, Sistema de amortização constante, sistema de
amortização Frances (Price), Fator de valor presente por operação múltipla,
Análise comparativa SAC x SAF, sistema de amortização americano (SAA), Fator de
acumulação de capital por operação múltipla (FACm), Aplicação em valor presente
líquido e Valor presente líquido (VPL).
É comum no
mundo dos negócios contrair-se uma dívida com a expectativa de saldá-la a
médio ou longo prazo. Considerando o fato de que o valor nominal de cada
pagamento consiste em uma mescla de pagamentos de juros e de amortização do
principal, podem-se usar várias metodologias para estabelecer a forma de liquidar-se
uma dívida. Para efeito ilustrativo, lembramos que a crise pela qual vem
passando o SFH (Sistema Financeiro da Habilitação), aliada à estabilização da
economia, implicou uma série de alternativas de financiamentos, consórcios e
cooperativas no ramo imobiliário. Tais situações práticas constituem-se na
aplicabilidade do assunto aqui tratado; sobremaneira nos sistemas utilizados
com maior frequência.
Os
sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de
empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos
do principal e encargos financeiros - uma
característica fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados é a
utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente
sobre o saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior.
Conceitos Iniciais
Amortização: é
o pagamento do principal ou capital emprestado que é feito, normalmente, de
forma periódica e sucessiva durante o prazo de financiamento.
Juros: é o custo do capital tomado
sob o aspecto do mutuário e o retorno do capital investido sob o aspecto do
mutuante.
Prestação: é
o pagamento da amortização mais os juros relativos ao saldo devedor
imediatamente anterior ao período referente à prestação. A taxa de juros pode
ser pré ou pós-fixada, dependendo de cláusula contratual. Entende-se como taxa pré-fixada aquela cuja
expectativa de inflação futura já está incorporada à taxa, enquanto na
pós-fixada existe a necessidade de apurar-se a desvalorização ocorrida por
conta da inflação, compensando-a através da correção monetária.
Saldo
devedor ou estado da dívida: é o
valor devido em certo período, imediatamente após a realização do pagamento
relativo a este período.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (S.A.C)
Este
tipo de sistema, como o próprio nome sugere, consiste na amortização constante
do principal durante todo o prazo de financiamento. A prestação a ser paga será
decrescente, na medida em que os juros incidirão sobre um saldo devedor cada
vez menor. O valor da amortização é calculado através da divisão entre o
capital inicial e o número de prestações a serem pagas.
Vamos
a um exemplo:
Fazer
o quadro demonstrativo para um empréstimo no valor de $10.000, o qual será
amortizado em cinco prestações trimestrais à razão de 7% ao trimestre através
do S.A.C.
Para
montagem da planilha, devemos inicialmente calcular o valor da amortização:
Onde:
A
= Amortização
P
= Principal
n
= números de prestações
Resolução:
A =
$2.000,00|
Período
|
Saldo Devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
Saldo Atual
|
|
0
|
|
|
|
|
10.000
|
|
1
|
10.700
|
2.000,00
|
700,00
|
2.700,00
|
8.000,00
|
|
2
|
8560,00
|
2.000,00
|
560,00
|
2.560,00
|
6.000,00
|
|
3
|
6420,00
|
2.000,00
|
420,00
|
2.420,00
|
4.000,00
|
|
4
|
4.280,00
|
2.000,00
|
280,00
|
2.280,00
|
2.000,00
|
|
5
|
2.140,00
|
2.000,00
|
140,00
|
2.140,00
|
0,00
|
|
Totalizações
à
|
10.000,00
|
2.100,00
|
12.100,00
|
| |
Observações:
Ø Os juros são obtidos sobre o saldo
devedor anterior ao período de apuração do resultado.
Ø A prestação é a soma da amortização aos
juros calculados no período.
Ø O saldo devedor é a soma dos juros ao
saldo anterior;
Ø O saldo atual é a diferença entre o
saldo devedor e a prestação;
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) –
(S.A.F)
Este
sistema estabelece, ao contrário do S.A. C, que as prestações são iguais e
sucessivas durante todo o prazo da amortização. È importante notar que, à
medida que as prestações são realizadas, o saldo devedor é diminuído
implicando, dessa forma, uma concomitante diminuição dos juros apurados para o
período em análise.
Porém , em função de manter-se a uniformidade em relação ao
valor da prestação, a amortização aumenta de forma a compensar a diminuição dos
juros.
O
cálculo do valor da prestação é feito, a partir do FATOR DE VALOR PRESENTE POR OPERAÇÃO MÚLTIPLA, através da fórmula:
Onde:
R = valor das prestações
P = principal
i = taxa de juros
n = período
Exemplo:
Uma pessoa contraiu um empréstimo de
$20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos com prestações semestrais
(sistema francês) à taxa de 18% ao semestre. Monte a planilha financeira.
Resolução:
1º
Cálculo do valor da prestação:
R =
$4.4450,30
2º
Montagem da planilha:
|
Período
|
Saldo
Devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
Saldo
Atual
|
|
0
|
-
|
-
|
-
|
-
|
20.000,00
|
|
1
|
23.600,00
|
850,30
|
3.600,00
|
4.450,30
|
19.149,70
|
|
2
|
22.596,65
|
1.003,35
|
3.446,95
|
4.450,30
|
18.146,35
|
|
3
|
21.412,69
|
1.183,96
|
3.266,34
|
4.450,30
|
16.962,39
|
|
4
|
20.015,62
|
1.397,07
|
3.053,23
|
4.450,30
|
15.565,32
|
|
5
|
18.367,08
|
1.648,54
|
2.801,76
|
4.450,30
|
13.916,78
|
|
6
|
16.421,80
|
1.945,28
|
2.505,02
|
4.450,30
|
11.971,50
|
|
7
|
14.126,36
|
2.295,43
|
2.154,87
|
4.450,30
|
9.676,06
|
|
8
|
11,417,76
|
2.708,61
|
1.741,69
|
4.450,30
|
6.967,46
|
|
9
|
8.2221,60
|
3.196,16
|
1.254,14
|
4.450,30
|
3.771,30
|
|
10
|
4.450,13
|
3.771,47
|
678,83
|
4.450,30
|
0,00
|
|
Totalizações
|
20.000,00
|
24.502,83
|
44.502,83
|
| |
Observações:
1.
Os
juros incidem sobre o saldo atual.
2.
A
amortização é a diferença entre a prestação e os juros.
3.
O
saldo atual consiste na diferença entre o saldo atual anterior e a amortização.
4.
O
saldo devedor consiste na soma do saldo
atual mais os juros.
ANÁLISE COMPARATIVA S.A.C
x S.A.F
Visando
comparar as duas metodologias aqui apresentadas, faremos um estudo em conjunto
a partir de uma situação hipotética a seguir:
Principal:
$15.000,00
Taxa
de Juros: 10% a.p.
Número
de Períodos: 10
1º Cálculo da amortização
para o S.A.C
A
= 1.500,00
2º Cálculo da
prestação para o S.A.F.
R =
2.441,18|
S. A. C.
| |||||
|
Período
|
Saldo
Devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
Saldo
Atual
|
|
0
|
|
|
|
|
15.000,00
|
|
1
|
16.500,00
|
1.500,00
|
1.500,00
|
3.000,00
|
13.500,00
|
|
2
|
14.850,00
|
1.500,00
|
1.350,00
|
2.850,00
|
12.000,00
|
|
3
|
13.200,00
|
1.500,00
|
1.200,00
|
2.700,00
|
10.500,00
|
|
4
|
11.550,00
|
1.500,00
|
1.050,00
|
2.550,00
|
9.000,00
|
|
5
|
9.900,00
|
1.500,00
|
900,00
|
2.400,00
|
7.500,00
|
|
6
|
8.250,00
|
1.500,00
|
750,00
|
2.250,00
|
6.000,00
|
|
7
|
6.600,00
|
1.500,00
|
600,00
|
2.100,00
|
4.500,00
|
|
8
|
4.950,00
|
1.500,00
|
450,00
|
1.950,00
|
3.000,00
|
|
9
|
3.300,00
|
1.500,00
|
300,00
|
1.800,00
|
1.500,00
|
|
10
|
1.650,00
|
1.500,00
|
150,00
|
1650,00
|
0,00
|
|
Totalizações
|
15.000,00
|
8.250,00
|
23.250,00
|
| |
|
S. A. F.
| |||||
|
Período
|
Saldo
Devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
Saldo
Atual
|
|
0
|
|
|
|
|
15.000,00
|
|
1
|
16.500,00
|
941,18
|
1.500,00
|
2.441,18
|
14.058,82
|
|
2
|
15.464,70
|
1.035,30
|
1.405,88
|
2.441,18
|
13.023,52
|
|
3
|
14.325,87
|
1.138,83
|
1.302,35
|
2.441,18
|
11.884,69
|
|
4
|
13.073,16
|
1.252,71
|
1.188,47
|
2.441,18
|
10.631,98
|
|
5
|
11.695,18
|
1.377,98
|
1.063,20
|
2.441,18
|
9.254,00
|
|
6
|
10.179,40
|
1.515,78
|
925,40
|
2.441,18
|
7.738,22
|
|
7
|
8.512,04
|
1.667,36
|
773,82
|
2.441,18
|
6.070,86
|
|
8
|
6.677,95
|
1.834,096
|
607,09
|
2.441,18
|
4.236,77
|
|
9
|
4.660,45
|
2.017,50
|
423,68
|
2.441,18
|
2.219,27
|
|
10
|
2.441,19
|
2.219,25
|
221,93
|
2.441,18
|
0,00
|
|
Totalizações
|
15.000,00
|
9411,81
|
24.411,81
|
| |
Como
podemos constatar a partir da análise das planilhas, as prestações do S.A.C.
são maiores do que as do S.A.F no início do período, ficando menores no final.
Evidentemente, existe um momento em que ocorre a igualdade dos pagamentos.
Podemos calcular este instante através do seguinte raciocínio:
Sendo j = P. i. n (juros)
(amortização)
R = A + j
(prestação)
Então:
De fato:
R1 = 
R1 = $3000,00
Atentando
para a planilha do S.A.C. notamos, a partir do 2º período, que as prestações
apresentam valores aritmeticamente decrescentes, daí podemos expor em termos
matemáticos:
R2 = A + {j – [(1/n . P). i]}
De fato:
} = R2
= 2.850,00
Podemos generalizar esta
fórmula da seguinte maneira:
}
Onde: K = período de análise
Exemplo:
Calcule a prestação do S.A.C. em relação ao 7º
período.
Resolução:
R7 = $2.100,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
AMERICANO (S.A.A.)
Este
sistema caracteriza-se pelo fato da devolução do principal ser feita de uma só
vez no final do período da amortização. Não são previstas amortizações
intermediárias durante a vigência dos pagamentos, sendo os juros pagos
periodicamente. Devido ao impacto financeiro que o próprio sistema concebe
visando o pagamento único da dívida, faz-se necessária a constituição de um
fundo de amortização, o qual irá financiar tal quantia. É importante notar que
este fundo será constituído concomitantemente aos pagamentos dos juros do
principal através do uso do FATOR DE
ACUMULAÇÃO DE CAPITAL POR OPERAÇÃO MÚLTIPLA (F.A.C.m.)
Resumindo:
Neste esquema de amortização o principal é restituído por meio de uma parcela
única ao fim da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum)
ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado.
Matematicamente
temos;
Exemplo:
A
importância de $75.000,00 será amortizada através do S.A.A. no final do 8º ano.
Sabendo que os juros pagos são feitos à razão de 50% a.a. e que o devedor irá
constituir um fundo de amortização com captações médias à razão de 35% a.a.,
monte a planilha financeira.
Resolução:
1º Cálculo do valor da prestação:
R = 2.616,52
2º Montagem da planilha
|
Planilha Financeira
|
Fundo de Amortização
| ||||||
|
Período
|
Saldo Devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
Depósito
|
Juros
|
Montante
|
|
0
|
75.000,000
|
-
|
|
|
|
|
|
|
1
|
75.000,000
|
-
|
37.500,00
|
37.500,00
|
2.616,00
|
0,00
|
2.616,52
|
|
2
|
75.000,000
|
-
|
37.500,00
|
37.500,00
|
2.616,00
|
915,78
|
3.532,30
|
|
3
|
75.000,000
|
-
|
37.500,00
|
37.500,00
|
2.616,00
|
1.236,31
|
3.532,30
|
|
4
|
75.000,000
|
-
|
37.500,00
|
37.500,00
|
2.616,00
|
1.669,01
|
4.768,61
|
|
5
|
75.000,000
|
-
|
37.500,00
|
37.500,00
|
2.616,00
|
2.253,17
|
8.690,79
|
|
6
|
75.000,000
|
-
|
37.500,00
|
37.500,00
|
2.616,00
|
3.041,78
|
11.732,56
|
|
7
|
75.000,000
|
-
|
37.500,00
|
37.500,00
|
2.616,00
|
4.106,40
|
15.838,96
|
|
8
|
75.000,000
|
-
|
37.500,00
|
112.500,00
|
2.616,00
|
5.543,64
|
21.382,60
|
|
Totalizações
|
75.000,00
|
300.000,00
|
375.000,00
|
20.932,16
|
18.766,08
|
75.000,00
| |
APLICAÇÃO EM VALOR PRESENTE LÍQUIDO
Em
uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias
situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as
várias possíveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da Taxa de
Mercado, também conhecida como a Taxa de Atratividade do Mercado e desejamos
saber a taxa real de juros da operação, para poder tomar uma decisão.
Existem
dois importantes objetos matemáticos que são utilizados na análise da operação
financeira de Investimento ou Financiamento: Valor Presente Líquido (NPV) e
Taxa Interna de Retorno (IRR).
Toda
ação feita no âmbito financeiro implica, necessariamente, na busca da
otimização do fluxo de caixa gerado através dessa ação, ou seja, fluxos de
receitas e despesas. Utilizando a ideia básica da matemática financeira que
permite, através da capitalização e da descapitalização, a comparação do
capital no tempo, demonstraremos a seguir um dos métodos empregados na escolha
da alternativa que propicia maior rentabilidade ou menor custo.
Valor Presente Líquido (VPL)
O método do Valor Presente Líquido
(VPL) tem como finalidade valorar em termos de valor presente o impacto dos
eventos futuros associados a um projeto ou alternativa de investimento, ou
seja, mede o valor presente dos fluxos de caixa gerados pelo projeto ao longo
sua vida útil. Não existindo restrição do capital, argumenta-se que esse
critério leva à escolha ótima, pois maximiza o valor da empresa.
O objetivo do VPL é encontrar projetos
ou alternativas de investimento que valham mais para os patrocinadores do que
custam – projetos que tenham um VPL positivo. Seu cálculo reflete as
preferências entre consumo presente e consumo futuro e a incerteza associada
aos fluxos de caixa futuros. O processo por meio do qual os fluxos de caixa são
ajustados a esses fatores chama-se desconto, e a magnitude desses fatores é
refletida na taxa de desconto usada (custo do capital). O processo de desconto
converte os fluxos de caixa futuros em valores presentes, pois fluxos de caixa
de épocas diferentes não podem ser comparados nem agregados enquanto não forem
colocados em uma mesma época.
O
cálculo do VPL consiste na DIFERENÇA entre os Fluxos Futuros provenientes do
capital inicial devidamente atualizado através de uma taxa igual ao custo de
oportunidade e este Capital. O critério
de decisão implícito a este parâmetro é o seguinte:
à 1.
Se o VPL for MAIOR ou IGUAL a Zero, entende-se que o fluxo será viável
economicamente, ou seja, o projeto conceberá um retorno maior ou, na pior das
hipóteses, igual ao retorno exigido e, sendo assim, aceitamos o projeto; caso
contrário o rejeitamos.
à 2.
Se tivermos vários fluxos possíveis em relação ao mesmo capital, escolheremos
aquele que produz MAIOR diferença líquida, pois representa aquele que
proporciona MAIOR rentabilidade financeira.
Matematicamente temos;
VPL = [ 
......
P]
...... P]
Onde:
VPL
– Valor presente líquido
N –
Valor Nominal
P –
capital
i –
taxa de juros
EXEMPLO:
Uma
empresa estuda a possibilidade de reformar uma máquina. A reforma está orçada
em $200.000 e dará uma sobrevida de cinco anos ao equipamento, proporcionando
uma diminuição nos custos operacionais da ordem de $75.000 ao ano. Considerando
um custo de capital de 15% a.a. e usando o método do VPL, analisar a viabilidade
econômica da reforma do equipamento.
Solução:
VPL = [ ...... P]
...... P]
n =
5 anos
i =
15% a.a.
N =
75000,
P =
200000,
VPL = [ 
P]
P]
VPL = 65217,39 + 56710,77 + 49313,72 + 42881,49 +
37288,26 – 200000
VPL = 51.411,63
VPL > 0
Este projeto é economicamente viável.
Fonte e Sítios Consultados
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