FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

       A Matemática Financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro no tempo.

Juros(J)

       É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Essa remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista:

 - De quem paga: nesse caso o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc

- De quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc.

       Em outras palavras, o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro, ou seja, toda vez que alguém compra a prazo, ou deixa de quitar suas dívidas na data do vencimento, contrai, nesse momento, um empréstimo financeiro de terceiros. Na verdade o juro existe porque as pessoas nem sempre possuem recursos financeiros disponíveis para consumir ou quitar suas dívidas à vista. O juro caracteriza-se ainda, em tese,pela reposição financeira das perdas sofridas com a desvalorização da moeda (ou seja, a inflação) durante o período em que esses recursos estão emprestados.

      Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja esse capital próprio ou de terceiros. 

Capital(C) ou Present Value(PV)

     È o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de início da operação financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor atual, Investimento inicial, valor presente ou valor aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.

    Como vimos, o capital é o recurso financeiro, base para o cálculo dos juros, e toda vez que tomamos dinheiro emprestado, compramos uma mercadoria, efetuamos um investimento ou simplesmente deixamos de cumprir com algum compromisso financeiro, estamos, na verdade efetuando operações de movimentação do capital que sofrem os efeitos da inflação e do tempo.

Taxa(i)

    É o coeficiente obtido da relação dos juros(J) com o capital(PV), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “i” vem do inglês interest que significa juro.

Apresentação das taxas

As taxas podem ser apresentadasde duas formas:

- Percentual (%)

- Decimal ou unitária

Na calculadora HP-12C será usada a forma percentual enquanto que nas fórmulas(operações algébrias) serão usadas as taxas unitárias

       

Exemplo:

42% =  42/100 = 0,42

A primeira forma recebe o nome de forma percentual e a segunda forma unitária, ou seja para transformarmos uma taxa percentual para forma unitária ou decimal, basta dividir por 100.Para realizar o processo contrário, ou seja, transformar de forma unitária para percentual, devemos multiplicar por 100.

Além disso as taxas poderão aparecer em qualquer unidade de tempo.

 Exemplo:

12% a.t.(ao trimestre)

0,05% a.d.(ao dia), etc

Prazo ou tempo ou período(n)

   È o tempo necessário que um certo capital (PV), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir certo valor de juros(j).

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Entendemos por regimes de capitalização o processo de formação do juro.

Há dois tipos de regimes de capitalização: a juros simples e a juro composto.

JUROS SIMPLES

É o processo de juro calculado unicamente sobre o capital inicial. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo. Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. 

Logo:

PV – capital inicial ou principal

J – juros simples

N ou t – tempo de aplicação

I – taxa de juro unitária

FÓRMULA DE JUROS SIMPLES:          J = PV.i.n 

É importante observar que essa fórmula só pode ser usada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma medida de tempo a que se refere à taxa i considerada.

Exemplo: Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês?

J=?                             Logo J=PV. i . n

PV=150.000                        J=150.000 . 0,04 . 18

n=18 meses                        J=108.000,00

i = 4%am=0,04

2 – Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$108.000,00, à taxa de juros simples de 4% ao mês?

PV=?     n=18 meses      j=108.000             i= 4% am=0,04

Logo J=PV . i. n                                    

         108.000 = PV . 0,04 . 18

         108.000 = PV . 0,72                         PV=150.000

MONTANTE

É definido como a soma do capital inicial mais os juros ganho no período da aplicação. Portanto:    FV = J + PV

                   Ou    FV = PV (1 + in)

Exemplo:1- Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$280.000,00, durante 15 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês?

FV=?      PV=280.000    n=15       i=3%am = 0,03

FV = PV(1+i.n)                      ou       J = PV.i.n

Fv = 280.000.(1+0,03.15)               J = 280.000.0,03.15

FV= 280.000.1,45                           J = 126.000  logo

FV = 406.000                                 FV = J + PV

                                                      FV = 126.000 + 280.000 = 406.000

 PV(1+i.n)

              PV=150.000           i= 4% am=0,04

TAXAS EQUIVALENTES E TAXAS PROPORCIONAIS A JUROS SIMPLES

Duas taxas são ditas proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.

Ex: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano:

12 meses..........30%

1 mês ...............X

logo

12.x = 1.30

x = 30/12 = 2,5% am

Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento.

Ex: Calcule o juro produzido pelo capital de R$20.000,00:

a)   à taxa de 4% ao mês durante 6 meses;

b)   à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.

EM REGIME DE JURO SIMPLES, DUAS TAXAS PROPORCIONAIS SÃO EQUIVALENTES.

Exercícios:

1 - Calcule a taxa mensal proporcional a

a)   9% ao trimestre

b)   24% ao semestre

c)   0,04% ao dia

d)   30% ao ano.

Respostas: a) 3% ao mês; b) 4% ao mês; c) 1,2% ao mês; d) 2,5% ao mês

JURO EXATO E JURO COMERCIAL SIMPLES

Chamamos de juro comercial a técnica de calcular os juros simples considerando o ano com 360 dias e o mês com 30 dias.

Chamamos de juro exato aquele que considera o ano com os seus dias exatos (365 ou 366 dias) e os meses iguais ao seu número de dias (28, 29, 30 ou 31 dias).

Para calcular o  número de dias entre duas datas pela HP12C

Exemplo: Determinar o nº exato de dias entre 11/03/2007 à 18/05/2007 no mesmo ano:

Pela tabela temos 18/05 = 138 dias 

                               11/03 =  70 dias

                             --------------------------

                          total de       68 dias corridos

Pela HP12C

Primeiro temos que colocar no formato nacional a data:

Tecle: (g)(D.MY), esta função está embaixo da tecla nº 4 em azul.

Agora: Digite a primeira data: 11.032000 e dê ENTER

            Digite a segunda data: 18.052000 e tecle (g)(DYS)

            Aguarde a HP12C equacionar a resposta = 68 dias corridos

Para calcular a data futura a partir de uma data atual:

Exemplo:Se um CDB de 184 dias foi adquirido em 14.08.2007, qual a data de resgate?

Digite a data : 14.082007 ENTER

Digite o nº de dias: 184 (g) (DATE)

A HP12C dará a resposta: 14.02.2008      4

O dígito que aparece na extrema direita do visor indica o dia da semana, sendo

1 – Segunda      2-Terça     3-Quarta    4-Quinta    5-Sexta    6-Sábado     7-Domingo

          

DESCONTO SIMPLES

Quando uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que haja um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida (nota promissória, duplicata ou letra de câmbio).

Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.

Pode ocorrer:

-         Que o devedor efetue o pagamento antes do dia pré-determinado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.

-         Que o credor necessite do seu dinheiro antes da data pre-determinada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro, sendo que este obtém um lucro, correspondente ao juro do capital que adiantou; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício recebe o nome de desconto.

As operações anteriores são denominadas operações de desconto.

Nessas operações temos:

Dia de vencimento – dia fixado para pagamento do título.

Valor nominal (Vl. Futuro ou vl. de resgate) – Valor indicado no título a ser pago no dia do vencimento.

Valor atual (Vl. descontado) – Valor pago ou recebido antes do vencimento.

Tempo ou prazo – é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento. (Inclui o 1º dia e não o último)

Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal (desconto comercial) ou o valor atual (desconto racional)

Desconto Comercial

D = valor do desconto comercial

FV = valor nominal

PV = Valor atual

N ou t = tempo

I = taxa de desconto

D = FV. i. n

Valor atual Comercial

PV = FV – d

PV = FV – (FV i n)

PV = FV – FV. i. n

PV = FV(1 – in) 

TAXA DE JURO EFETIVA

A taxa de juro que no período n torna o capital A igual ao montante N é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva.(i)

  I =   (cálculo da taxa efetiva ao dia, ao mês, ao ano, etc)

JUROS COMPOSTOS

Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render no período seguinte.

FV= PV(1 + i)

J = PV[(1 + i)ⁿ -1]     onde FV = J + PV

Estas são as fórmulas do montante e dos juros em regime de juros compostos, sendo a primeira também chamada fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos.

O fator (1 + i) é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.

Exemplo 1: Qual o montante a juros compostos, para uma aplicação de R$15000,00, à taxa de 3% ao mês durante 18 meses?

FV=?    PV = 15.000    i = 3%am=0,03     n = 18

FV = PV(1+i)ⁿ

FV = 15.000(1+0,03)¹⁸

FV = 15.000 . 1,702433

FV = 25.536,50

TAXAS EQUIVALENTES

Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes.

Cálculo da taxa equivalente:

i = [(1 + i)- 1] X 100

onde: i= taxa equivalente que queremos

          q = prazo no qual queremos a taxa equivalente

          i= taxa que temos no prazo t

          t = prazo no qual temos a taxa dada

(memorização: o que queremos costuma estar acima do que temos)

Sempre que trabalhamos com taxas equivalentes, é conveniente transformamos os prazos t (que temos) e q (que queremos) em dias, para evitar erros ao coloca-los numa mesma unidade de tempo.

Exemplos:

Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês?

Qual a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? 

Caso em que o prazo de aplicação do capital não é um número inteiro

É normal em que às vezes não temos o prazo de aplicação n, como um número inteiro de período a que se refere a taxa de juros compostos. Neste caso é comum utilizar:

a)   Convenção linear: considera juros compostos na parte inteira no período e sobre a parte fracionária incide juros simples. (Mercado financeiro americano)(Para obter esse resultado na HP12C, o C de composto não pode estar acionado, tirando com a função (STO)(EEX)

b)   Convenção exponencial – esta convenção adota os juros compostos tanto para os inteiros quanto para os fracionários. É a forma utilizada no nosso mercado financeiro. (Para obter esse resultado na HP12C, o C de composto tem que estar acionado com a função (STO)(EEX).

TAXA NOMINAL

É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ele se refere.

Exemplo: 48% ao ano capitalizados mensalmente.

A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual. Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.

Exemplo: Qual o montante de um capital de R$5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados mensalmente?

TAXA EFETIVA

Será a taxa que deve coincidir com o período de capitalização. Exemplo: Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é a taxa nominal. A taxa efetiva  é a taxa anual equivalente a 3% semestrais.

quero=ano = 360 dias             tenho =semestre=180 dias

²-1]x100 = [1,060900 - 1]x100 =

0,060900 x 100 = 6,09% a a

DESCONTO COMPOSTO

O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento.

Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo(O desconto comercial simples só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.)

Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o racional e o comercial. O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim, ficaremos restritos ao estudo do desconto composto racional.

Valor atual, em regime de juro composto, de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos o montante N.

Assim, em virtude dessa definição temos: PV(1 + i)= FV

Logo: PV = FV(1 - i)ⁿ